Під час приливної взаємодії енергія передається або від планети до супутника, або від супутника до планети. Від чого це залежить?
Нехай M, R, V - маса, радіус і екваторіальна швидкість обертання планети, а m - маса її супутника, v - швидкість його руху по орбіті, r - радіус цієї орбіти. Припустимо, що орбіта супутника кругова і лежить в екваторіальній площині планети. Ми хочемо з'ясувати, чи зможе кінетична енергія планети передаватися супутнику, навіть в тому випадку, якщо його маса дуже мала.
Момент імпульсу планети J дорівнює:
J = IMR 2 ω (1)
Тут ω - кутова швидкість обертання планети, що дорівнює ω = 2π / T, де T - період обертання планети. I - безрозмірний момент інерції планети. Його величина залежить від розподілу маси. Для однорідного кулі безрозмірний момент інерції точно дорівнює 0,4. Якщо внутрішність кулі щільніша, ніж поверхня, то безрозмірний момент інерції буде менше. Наприклад, у Землі він дорівнює 0,33, у Юпітера ще менше 0,254, у Місяця ж 0,394, а це означає, що у неї або зовсім немає залізного ядра, або воно дуже маленьке. Момент інерції планети (або іншого кулястого тіла) дорівнює IMR 2. Лінійна швидкість поверхні на екваторі планети дорівнює V = ω R. В результаті отримуємо:
J = IMRV (2)
Орбітальний момент супутника дорівнює: mvr
Якщо в системі діють приливні сили, то частина енергії переходить в тепло. При цьому повний момент імпульсу залишається незмінним. Інакше кажучи, в системі відбувається перерозподіл моменту імпульсу між її частинами. Причому такий перерозподіл, яке супроводжується втратою (диссипацией) вільної енергії, і, відповідно, зростанням ентропії. Очевидно, подібний процес може йти тільки в одному напрямку. Під вільної енергією мається на увазі кінетична і потенційна енергія системи, а диссипация - це розсіювання енергії, її незворотний перехід з вільної форми в теплову.
Отже, нам треба знайти такий перерозподіл моменту імпульсу, при якому зменшується вільна енергія. Запишемо закон збереження моменту імпульсу для планети (1) і супутника (2), див. Фото.
J 1 + J 2 = const (3)
Продифференцируем цей вислів:
_
_
_
_
З отриманого рівняння видно, що при досить великому М, величина dv може бути багато більше, ніж dV (по модулю):
| dv | >> | dV |
Чи не призведе таке сильне нерівність до порушення закону збереження енергії при передачі обертання від планети до супутника? Адже кінетична енергія пропорційна квадрату швидкості.
Кінетична енергія планети K 1 дорівнює:
_
_
_
Кінетична орбітальна енергія супутника K 2 дорівнює:
K 2 = 1/2 mv 2 (6)
Запишемо вираз для енергії в диференціальної формі:
dK 1 + dK 2 <0 (7)
Це суворе нерівність означає, що внаслідок приливних сил кінетична енергія системи зменшується. А що буде з потенційною енергією?
Процес перерозподілу енергії під дією приливних сил можна розділити на дві частини. Перша - перерозподіл моменту імпульсу системи і викликане цим перерозподіл кінетичної енергією в результаті приливної тертя. Друга - перерозподіл потенційної енергії внаслідок перерозподілу кінетичної: супутник отримує додаткову кінетичну енергію і переходить на більш високу орбіту. Зараз нас цікавить тільки перша частина процесу. Саме через неї процес передачі енергії є незворотнім.
Підставляючи К1 і К2 в (7), отримуємо:
IMVdV + mvdv <0 (8)
Підставляємо dv з рівняння (4), отримуємо:
_
_
_
_
_
З огляду на, що кутова швидкість орбітального обертання супутника ω 2 навколо планети дорівнює:
ω 2 = v / r, отримуємо:
(ω1 - ω 2) · dV <0 (10)
Отже, ми отримали важливий результат, який, правда, був і так інтуїтивно очевидний. Напрямок передачі енергії залежить тільки від кутової швидкості обертання планети ω1 і кутової швидкості руху супутника по орбіті ω2.
Якщо ω 1> ω2, то dV <0. У цьому випадку швидкість обертання планети зменшується, і кінетична енергія передається від планети до супутника. Говорячи іншими словами, якщо добу на планеті T 1 = 2π / ω1 коротше, ніж місяць T 2 = 2π / ω2, то швидкість обертання планети буде зменшуватися. А енергія супутника, відповідно, зростати. І він буде поступово переходити на більш високу орбіту. Подібний процес відбувається в системі Земля-Місяць, в якій добу майже в 30 разів коротше місяці, а наш природний супутник віддаляється на 3,8 сантиметра на рік.
Якщо ω1 <ω2, то dV> 0, тобто швидкість обертання планети збільшується, і кінетична енергія передається від супутника до планети. В цьому випадку приливна хвиля, створювана супутником на планеті, випереджає її обертання і в результаті прискорює планету. А енергія супутника, навпаки, зменшується, і він поступово «падає» на планету. Цей сценарій реалізується для марсіанського супутника Фобос.
З рівняння (10) видно, що для кожної планети існує особлива орбіта, яка називається синхронної. На ній орбітальний період супутника в точності дорівнює періоду обертання планети навколо своєї осі. Для Землі подібна орбіта називається також геостаціонарній. Знаходяться на ній супутники рухаються так, що весь час «висять» над одним і тим же місцем.
Синхронна орбіта - нестійка. Якщо ми трохи збільшимо її, то почнеться незворотний процес видалення супутника від планети. Адже чим вище його орбіта, тим більше період руху по ній і, отже, приливна хвиля, створювана ним на планеті, буде швидше рухатися по ній в зворотну сторону, сповільнюючи її обертання. Якщо ж трохи зменшити орбіту супутника, що знаходиться на синхронній орбіті, то, навпаки, почнеться незворотний процес його падіння.
Варто зазначити, що у Марса, Юпітера, Урана і Нептуна є супутники, що знаходяться нижче синхронної орбіти. Такі супутники приречені. Час їх «життя» оцінюється в десятки мільйонів років, що значно менше віку Сонячної системи. В такому випадку вони повинні були утворитися за астрономічними мірками недавно. І значить, можуть з'явитися і в даний час. Як же вони народжуються? На це питання ми відповімо пізніше.
Василь Янчілін
Від чого це залежить?А що буде з потенційною енергією?
Як же вони народжуються?
