Завдання з теорії ймовірностей в ЄДІ з математики вперше з'явилося в 2012 році. З тих пір число і різноманітність прототипів, опублікованих на сайті ФІПІ, значно зросла. З'явилися завдання на суму і твір подій, на умовну ймовірність. Але якщо Ви ще не вирішували завдання, в яких використовуються тільки визначення ймовірності і елементи комбінаторики для підрахунку варіантів, обов'язково зробіть це. Інакше рішення більш складних завдань виявиться марним.
Завдання краще вирішувати в такому порядку.
- Завдання тільки на визначення ймовірності
- Завдання з використанням елементів комбінаторики
- Рішення задач з застосуванням таблиць
- Завдання на правила додавання і множення ймовірностей
У демонстраційних варіантах ЄДІ 2018 року ці фірми можуть зустрітися під номером 10 для базового рівня і під номером 4 для профільного рівня.
У розділах, що стосуються використання формул і правил комбінаторики, я неодноразово згадувала правила множення і правила складання варіантів, називаючи їх І-правилом і АБО-правилом. Цей же підхід можна поширити на правила теорії ймовірностей. Правило додавання ймовірностей: якщо A і В несумісні події, то ймовірність того, що настане хоча б одне з двох подій А або В, дорівнює сумі їх ймовірностей.
Правило множення ймовірностей: якщо A і В незалежні події, то ймовірність одночасного настання обох подій А і В, дорівнює добутку їх ймовірностей.
Зверніть увагу:
Ми говоримо про суму подій, коли може настати хоча б одне з двох подій або А, або В, або обидва разом. Але наведену формулу застосовуємо тільки для несумісних подій, тобто в разі, якщо вони не можуть відбутися разом. Наприклад, не може один учень писати іспит відразу в двох аудиторіях.
Ми говоримо про твір подій при настанні і А, і В одночасно. Але наведену формулу застосовуємо тільки для незалежних подій, коли результат одного з них не пов'язаний з результатом іншого. Наприклад, при киданні двох гральних кісток жодна з них "не знає", яке число очок випало на інший.
Якщо зазначені умови не виконуються, то правила додавання і множення ймовірностей набувають більш складний вид. Правило додавання ймовірностей для сумісних подій: ймовірність суми двох сумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей за вирахуванням ймовірності їх твори.
Правило множення ймовірностей для залежних подій: ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого за умови, що перша подія відбулася.
Але в будь-якому випадку, правило додавання ймовірностей використовуємо там, де перед описом події в тексті завдання можна вставити союз "або", тому називаємо його АБО-правилом. Правило множення ймовірностей використовуємо там, де перед описом події в тексті завдання можна вставити союз "і", тому називаємо його І-правилом. Давайте подивимося, як це працює на прикладі задачі про ковбоя.
приклад 1
Ковбой Джон потрапляє в муху на стіні з ймовірністю 0,9, якщо стріляє з пристреляв револьвера. Якщо Джон стріляє з непрістрелянного револьвера, то він потрапляє в муху з ймовірністю 0,2. На столі лежить 10 револьверів, з них тільки 4 пристреляв. Ковбой Джон бачить на стіні муху, навмання вистачає перший-ліпший револьвер і стріляє в муху. Знайдіть ймовірність того, що Джон промахнеться. Запишемо, як могло статися, що "Джон промахнувся".
"Ковбой схопив пристріляний револьвер І не потрапив в муху, АБО ковбой схопив непрістрелянний револьвер І не потрапив в муху."
Спочатку розберемося з пістолетами:
- Імовірність схопити пристріляний пістолет дорівнює 4/10 = 0,4. Ми вирахували її за визначенням ймовірності: тут один пістолет = одне елементарне подія, один пристріляний пістолет = одне що сприяє подія.
- Імовірність схопити непрістрелянний пістолет дорівнює (10-4) / 10 = 0,6. Вирахували аналогічно, визначивши число непрістрелянних пістолетів.
Потім розберемося з мухою:
- Якщо ковбой стріляв з пристреляв револьвера, то він НЕ потрапив в муху з ймовірністю 1-0,9 = 0,1.
- Якщо ковбой стріляв з непрістрелянного револьвера, то він НЕ потрапив в муху з ймовірністю 1-0,2 = 0,8.
Тут ми скористалися формулою для ймовірності протилежної події, тому що в умови дані ймовірності попадання в муху з різних пістолетів, але не промахів.
Тепер повернемося до нашої формулюванні події "Ковбой схопив ..." і замість тексту, що описує складові події, підставимо отримані числа - їх ймовірності, а замість спілок "І" і "АБО" знаки "·" і "+" відповідно. отримуємо:
Ми отримали відповідь, а заодно вивели формулу повної ймовірності для групи з двох подій. Тільки останнім для нас не головне, для цього типу задач взагалі формули не головне. Набагато важливіше зрозуміти і добре сформулювати подію, про яку питається в умові завдання. Математично наше рішення виглядає наступним чином.
Рішення
Позначимо події: A - "Джон промахнувся"; B - "попадання в муху"; С1 - "постріл з пристреляв пістолета"; С2 - "постріл з непрістрелянного пістолета".
Тоді шукана ймовірність події А визначається за формулою Знаходимо ймовірності складових подій так, як це було описано вище:
P (С1) = 0,4; P (С2) = 0,6; P (B- / С1) = 0,1; P (B- / С2) = 0,8 і підставляємо їх у формулу.
Відповідь: 0,52
Зауваження. У формулі для P (A) правило складання записано в простій формі - для несумісних подій, оскільки пістолет не міг бути одночасно пристреляв і непрістрелянним, а правило множення в складній формі - з урахуванням умовної ймовірності, оскільки "попадання в муху" залежало від вибору пістолета . Символом B -, як зазвичай, позначено подія протилежне події В, тобто "Непроходження в муху".
Тепер перевірте себе.
Увага:Для посилення навчального ефекту відповіді і рішення тимчасово приховані. Вони показуються окремо для кожного завдання послідовним натисканням кнопок на жовтому тлі. (Коли завдань багато, кнопки можуть з'явитися з затримкою. Якщо кнопок не видно зовсім, перевірте, чи дозволений у вашому браузері JavaScript.)
завдання 1
На екзамені з геометрії школяреві дістається одне питання зі списку екзаменаційних питань. Імовірність того, що це питання на тему «Вписана окружність», дорівнює 0,2. Імовірність того, що це питання на тему «Паралелограм», дорівнює 0,15. Питань, які одночасно належать до цих двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання по одній з цих двох тем.
Рішення
Використовуємо правило складання, оскільки "питання по одній з цих двох тем" означає, що АБО на тему «Вписана окружність», АБО на тему «Паралелограм». Причому правило використовуємо в простій формі, тому що події несумісні. В умови про це прямо сказано - питань, які одночасно належать до цих двох тем, немає.
P (A + B) = P (A) + P (B)
0,2 + 0,15 = 0,35.
Відповідь: 0,35
завдання 2
Якщо гросмейстер А. грає білими, то він виграє у гросмейстера Б. з ймовірністю 0,52. Якщо А. грає чорними, то А. виграє у Б. з ймовірністю 0,3. Гросмейстери А. і Б. грають дві партії, причому в другій партії змінюють колір фігур. Знайдіть ймовірність того, що А. виграє обидва рази.
Рішення
"А. виграє обидва рази" означає, що А. виграє І перший раз, І вдруге. А оскільки гросмейстери змінюють колір фігур, то цю подію можна описати і так "А. виграє І білими, І чорними." Використовуємо правило множення в простій формі, тому що події незалежні.
P (A · B) = P (A) · P (B)
0,52 · 0,3 = 0,156.
Відповідь: 0,156
Зауваження: Як ми можемо судити про незалежність подій? Згадуємо все, що знаємо про самих подіях. В даному випадку правила гри в шахи такі, що друга партія починається заново і її результат не залежить від результату першої партії.
завдання 3
У торговому центрі два однакових автомата продають каву. Імовірність того, що до кінця дня в автоматі закінчиться кави, дорівнює 0,3. Імовірність того, що кава закінчиться в обох автоматах, дорівнює 0,12. Знайдіть ймовірність того, що до кінця дня кави залишиться в обох автоматах.
Рішення
Події A = "кава закінчиться в першому автоматі" і B = "кава закінчиться в другому автоматі" не є несумісними, так як кава може закінчитися в обох автоматах, і не є незалежними, так як, якщо в одному з них каву закінчиться, то в другій автомат покупці будуть звертатися частіше, і кава в ньому закінчиться швидше.
За умовою завдання P (A) = P (B) = 0,3; P (AB) = 0,12
Спосіб I.
Подія "кава залишиться в обох автоматах" протилежно події "кава закінчиться хоча б в одному з автоматів АБО в першому, АБО в другому, АБО в обох". Знайдемо ймовірність цього (протилежної) події за правилом додавання ймовірностей для сумісних подій.
P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A · B) = 0,3 + 0,3 - 0,12 = 0,48
Тоді шукана ймовірність дорівнює 1 - 0,48 = 0,52
Спосіб II.
Розглянемо наступні події:
Подія С1 = "кава залишиться в обох автоматах";
Подія С2 = "кава закінчиться в обох автоматах";
Подія С3 = "кава закінчиться в першому автоматі І залишиться в другому";
Подія С4 = "кава закінчиться в другому автоматі І залишиться в першому".
Ці чотири події несумісні і хоча б одне з них обов'язково реалізується, тобто їх сума достовірна подія, ймовірність якого дорівнює 1.
P (С1) + P (С2) + P (С3) + P (С4) = 1.
Отже можемо знайти шукану ймовірність з рівності
P (С1) = 1 - P (С2) - P (С3) - P (С4),
в якому P (С2) = P (AB) = 0,12 (за умовою завдання) і P (С3) = P (С4) (автомати однакові).
Розберемося з подією С3. Воно є твором події A і події B - протилежної події В. Ці події не є незалежними, тому І-правило використовуємо з урахуванням умовної ймовірності.
P (АВ) = P (A) · P (B / A). Отже ймовірність того, що в другому автоматі закінчиться кави за умови, що воно вже закінчилося в першому P (B / A) = P (AB) / P (A) = 0,12 / 0,3 = 0,4. А ймовірність того, що в другому автоматі залишиться кави за умови, що воно закінчилося в першому P (B- / A) = 1 - P (B / A) = 1 - 0,4 = 0,6. тоді
P (С3) = P (А B-) = P (A) · P (B- / A) = 0,3 · 0,6 = 0,18.
Отже P (С1) = 1 - 0,12 - 0,18 - 0,18 = 0,52.
Відповідь: 0,52
Зауваження: Тут формально, I спосіб краще, тому що коротше. Реально, кому як більше подобається. Але в будь-якому випадку, якщо ви вмієте вирішувати завдання різними способами, то завжди зможете самі себе перевірити.
завдання 4 
На малюнку зображений лабіринт. Павук заповзає в лабіринт в точці "Вхід". Розвернутися і повзти назад павук не може, тому на кожному розгалуженні павук вибирає один із шляхів, за яким ще не повз. Вважаючи, що вибір подальшого шляху чисто випадковий, визначте, з якою ймовірністю павук прийде до виходу D.
Рішення
Помилково думати, що в заданих умовах на ймовірність вийти через конкретний вихід або потрапити в один з тупиків впливає кількість виходів і тупиків або довжина шляху до них. Раз павук розвернутися і повзти назад не може, то найголовніше для нього - на кожній зустрілася розвилці вибрати правильний шлях: І на першій, І на другий, І на ... Тобто це знову задача на правило множення ймовірностей.
Намалюємо шлях павука до потрібного виходу і можливі відгалуження на цьому шляху.
Поставимо на розвилках "точки роздуми". Але за умовою завдання павук не роздумував, а вибирав шлях чисто випадково, значить з кожної точки він міг піти з будь-якого шляху з ймовірністю p = 1 / n, де n - кількість шляхів на розвилці за винятком того, за яким павук прийшов. На нашому малюнку на потрібному шляху зустрічається 4 точки, і в кожній з них павук може вибрати два нових шляху, отже p1 = p2 = p3 = p4 = 1/2 = 0,5.
На кожній розвилці павук вибирає новий шлях незалежно від рішення прийнятого минулого розвилці (за умовою - чисто випадково), тому правило множення ймовірностей використовуємо в простій формі
P = p1 · p2 · p3 · p4 = 0,5 · 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,0625;
Відповідь: 0,0625
Зауваження: Пропоную подумати, як для такого завдання Ви могли б зробити перевірку.
Використання правил додавання і множення ймовірностей в формі І / АБО-правил може значно спростити завдання, але не забувайте бути уважними до незалежності і несумісності подій. Якщо при аналізі подій упустити ці моменти, то можна зробити суттєві помилки.
Подібні невірні рішення задач ЄДІ з математики зустрічаються, в тому числі, і в мережі Інтернет. Тому
з банку завдань ЄДІ ( "про чайниках і автобусах") розглянуті на сторінці сайту, присвяченій аналізу невірних рішень: Типові помилки при вирішенні задач на застосування правил додавання і множення ймовірностей подій.
Звичайно, там можна знайти і готові правильні рішення. Але до них краще звернутися після самостійної роботи над завданнями.
завдання 5
Імовірність того, що новий сканер прослужить більше року, дорівнює 0,98. Імовірність того, що він прослужить більше двох років, дорівнює 0,87. Знайдіть ймовірність того, що сканер прослужить менше двох років, але більше року.
Рішення
Питання завдання сформульовано так, що його легше осмислити через протилежні події. Визначимо їх ймовірності.
Нехай подія А = "сканер прослужить менше року", його ймовірність Р (А) = 1 - 0,98 = 0,2;
подія В = "сканер прослужить менше двох років", його ймовірність Р (В) = 1 - 0,87 = 0,13.
Подія С = "сканер прослужить менше двох років, але більше року", про ймовірність якого питається в задачі, по суті означає, що сканер зламається на другому році служби. Один і той же сканер не може зламатися одночасно і в перший, і в другий роки служби. Тому події А і С не сумісні, а подія В розпадається на два випадки: "сканер зламається на першому році служби" АБО "сканер зламається на другому році служби". Таким чином, подія В є сумою двох несосвметімих подій А і C, до яких може бути застосована теорема додавання ймовірностей (АБО-правило):
В = А + С
P (B) = P (A) + P (C)
0,13 = 0,02 + P (C)
P (C) = 0,13 - 0,02 = 0,11.
Відповідь: 0,11
Зауваження: Звичайно, 0,98 - 0,87 = 0,11 теж правильну відповідь, і, якщо переформулювати питання завдання, теж буде правильним рішенням. Повторюся, у всіх завданнях на ймовірність головне розібратися в подіях, що застосовуються формули тут є наслідком міркувань.
Однак не забувайте, що наявність спілок "і" і "або" в тексті завдання зовсім необов'язково вказує на те, що це завдання на правила додавання і множення ймовірностей. Ці частини мови можуть використовуватися в своєму первісному призначенні - пояснювати змив завдання або події. Порівняйте:
завдання 6
При виготовленні підшипників діаметром 68 мм ймовірність того, що діаметр буде відрізнятися від заданого не більше ніж на 0,01 мм, дорівнює 0,968. Знайдіть ймовірність того, що випадковий плдшіпнік матиме діаметр менше, ніж 67,99 мм, або більше, ніж 68,01 мм.
Рішення
Тут фраза "діаметр буде відрізнятися від заданого не більше ніж на 0,01 мм", фактично, означає, що діаметр буде перебувати в діапазоні від 68 - 0,01 = 67,99 мм до 68 + 0,01 = 68,01 мм. Значить фраза "діаметр менше, ніж 67,99 мм, або більше, ніж 68,01 мм" просто означає, що діаметр підшипника буде знаходитися за межами цього діапазону. Таким чином мова йде про протилежне подію, ймовірність якого легко визначити:
1 - 0,968 = 0,032.
Відповідь: 0,032
Наступне завдання теж можна вирішувати різними способами, але явно краще через протилежне подія. Спробуйте.
завдання 7
У вуличному ліхтарі 3 лампи. Імовірність перегорання лампи протягом року дорівнює 0,8. Знайдіть ймовірність того, що протягом року хоча б одна лампа не перегорить.
Якщо відома ймовірність якої-небудь події А, то ймовірність протилежної йому події A - визначається за формулою P (A-) = 1 - P (A).
Так наприклад, якщо ймовірність перегорання лампи протягом року дорівнює 0,8, то вірогідність не перегорання в цей же період дорівнює 1 - 0,8 = 0,2.
Рішення
Нехай подія A = "Протягом року хоча б одна лампа не перегорить". Протилежне йому подія A - = "Протягом року перегорять все три лампи."
Імовірність останньої події визначаємо за правилом множення ймовірностей
P (A-) = 0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,512 (перегорить І перша, І друга, І третя лампи НЕЗАЛЕЖНО один від одного).
Отже шукана ймовірність P (A) = 1 - 0,512 = 0,488.
Відповідь: 0,488.
Рекомендую почитати:
- Лютікас В.С. Школяру про теорію ймовірностей. - М. "Просвіта", 1976.
- Мостеллер Ф. П'ятдесят цікавих імовірнісних завдань з рішеннями. Пер. з англ. - М. "Наука", 1985.
перейдіть по стрілці , Щоб знайти посилання на інші завдання ЄДІ 2018.
