Проект 9. розкрутити Землю

1. Почнемо з твердження барона. Він стверджує, що якщо збільшити швидкість обертання Землі навколо своєї осі, то вага всіх тіл на Землі зменшиться. Більш того, він вважає, що при бажанні можна добитися того, що всі тіла на екваторі взагалі будуть невагомі!

Виникає природне запитання: а з чого він це взяв? І цілком розумно, на перший погляд, звучить здивована репліка Професори: «Хіба сила тяжіння залежить від того, обертається Земля чи ні?»

2. Професор, звичайно ж, має рацію: сила тяжіння не залежить від швидкості обертання Землі! Але заперечення це - не по суті питання! Адже барон про силу тяжіння як раз нічого не говорить, він говорить про зміну ваги! А це не одне і те ж!

3. Найпростіший приклад доводить, що сила тяжіння і вага тіла необов'язково рівні за величиною. Розглянемо ліфт, який рухається з прискоренням , Спрямованим вертикально вниз (рис. 9.1).

Нехай на підлозі цього ліфта лежить тіло масою m. Тоді на тіло діють дві сили: сила нормальної реакції і сила тяжіння . Їх рівнодіюча повідомляє тілу прискорення .

За другим законом Ньютона справедливо: , Або в скалярною формі:

mg - N = ma N = mg - ma = m (g - a).

Вага - це сила, з якою тіло діє на підлогу ліфта. За третім законом Ньютона . Отже, за величиною вага тіла дорівнює P = m (g - a) mg! Тобто вага менше сили тяжіння, а якщо a = g, то вага дорівнює нулю: P = m (g - g) = 0.

Отже, вага, взагалі кажучи, «не зобов'язаний» бути рівним силі тяжіння.

4. Розглянемо тіло, нерухомо лежить на одному з полюсів Землі, наприклад, на Північному. На тіло діють дві сили: сила нормальної реакції і сила тяжіння (Рис. 9.2). Оскільки прискорення тіла в інерціальній системі відліку, пов'язаної з центром Землі, дорівнює нулю, то + = 0 P = N = F т. Оскільки за третім законом Ньютона , То P = N = F т. І вага при цьому ніяк не залежить від швидкості обертання Землі! Так що в цьому пункті ми вже можемо поправити барона: як би швидко не оберталася Земля, вага тіла на полюсі завжди залишатиметься сталою величиною, рівною силі тяжіння.

5. Перш ніж ми підемо в наших міркуваннях далі, зупинимося на одному, здавалося б, дуже простому питанні: що таке ?

Відповідно до закону всесвітнього тяжіння на тіло масою m, що знаходиться на поверхні Землі, діє сила тяжіння , Де М - маса Землі, а R - її радіус.

Введемо позначення:

Величина g 0 має двоякий сенс: з одного боку, ця величина дорівнює силі, з якою Земля діє на одиничну масу, а значить, її можна вимірювати в Н / кг: g 0 = 9,83 Н / кг. Тоді величину g 0 можна (за аналогією з напруженістю електростатичного поля) називати напруженістю гравітаційного поля Землі.

А з іншого боку, за другим законом Ньютона , Значить, величину g 0 можна вимірювати як прискорення в м / c2, а фізичний зміст цієї величини - прискорення, з яким буде рухатися тіло під дією тільки сили тяжіння в інерціальній системі відліку: g 0 = 9,83 м / c2.

6. Якщо вважати Землю кулею ідеально правильної форми, то в будь-якій точці земної поверхні на тіло масою m буде діяти однакова за величиною сила тяжіння F т = mg 0, спрямована до центру Землі.

7. Тепер розглянемо тіло масою m, нерухомо лежить на екваторі Землі (рис. 9.3). Оскільки Земля обертається з періодом Т = 24 год, то наше тіло рухається по колу з радіусом, рівним радіусу Землі: R = 6400 км. При цьому кутова швидкість обертання дорівнює

а доцентрове прискорення тіла одно

Це прискорення повідомляє нашому тілу рівнодіюча двох сил: сили нормальної реакції і сили тяжіння . Згідно з другим законом Ньютона справедливо

Оскільки вага тіла за третім законом Ньютона дорівнює , То Р = N = m (g 0 - ω2 R) mg0. Тобто на екваторі навіть ідеально кулястої Землі вага менше сили тяжіння на величину m ω2 R, причому різниця ця буде тим більше, чим більше ω.

Тому з чисто теоретичної точки зору задум барона розкрутити Землю, щоб зменшити вагу тіл, що знаходяться на екваторі - цілком розумний!

8. Резонно запитати, а чому дорівнює прискорення вільного падіння на екваторі? На екваторі вільно падаюче тіло буде рухатися так, як якщо б на нього діяла сила тяжіння F т = m (g 0 - ω2 R), а значить, прискорення вільного падіння дорівнюватиме

g = = G 0 - ω2 R = 9,83 м / c2 - 0,0338 м / c2 ≈ 9,79 м / c2.

Тобто через обертання Землі прискорення вільного падіння на екваторі менше ніж на полюсі.

9. Тепер відповімо на запитання Бізнесмена: якої тривалості будуть добу на Землі, якщо тіла на екваторі будуть невагомі?

З формули (9.1) випливає, що для того, щоб вага тіла на екваторі став рівним нулю, необхідно, щоб виконувалося рівність:

Тоді тривалість доби буде дорівнює

Ясно, що це вже дуже мало. Навряд чи на таке погодяться екологи і вже тим більше Рада Безпеки ООН!

Але припустимо неймовірне: всі жителі Землі одностайно погодилися втілити задум барона в життя. Тоді актуальним стане питання Інженера: скільки ж енергії на це буде потрібно?

З теорії обертального руху відомо, що однорідний шар масою М і радіусом R, що обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю ω, має кінетичної енергією .

На цьому дозвольте зупинитися.

Постарайтеся оцінити:

1. Який енергією володіє Земля в даний час в силу свого обертання?

2. Який енергією вона буде володіти, якщо здійснити задум барона?

3. Скільки років повинні працювати всі електростанції Землі, щоб виробити енергію, необхідну для реалізації даного проекту?

Для довідки: маса Землі дорівнює приблизно 6,0 · 1024 кг.

повернутися